Анализ линейной модели на чувствительность

06. Анализ решения (модели) на чувствительность

Модель линейного программирования является как бы «моментальным снимком» реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естественно изучить влияние изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи ЛП. Такое исследование называется Анализом на чувствительность. В этом разделе анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП.

Компания производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2.

Необходимая информация представлена в следующей таблице:

На 1 тонну краски

Ежедневный
расход сырья

Для наружных работ

Для внутренних работ

Доход на тонну краски (тыс. дол.)

Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т, а кроме того этот показатель не должен превышать более чем на тонну показатель выпуска краски для внешних работ.

Определить оптимальное соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода.

Составленная математическая модель задачи выглядит следующим образом:

Максимизировать Z(x) = 5X1 + 4X2

При выполнении ограничений

В результате применения графического метода решения ЗЛП, рассмотренного в параграфе 3.2, получен график (рис. 3.6).

Решением задачи является точка с координатами: Х1 = 3;Х2 = 1,5. Целевая функция при таком решении принимает значение Z = 21 тыс. дол.

Проведем для данной задачи анализ чувствительности. Рассмотрим два случая:

1) изменение коэффициентов целевой функции;

2) изменение значений констант в правой части неравенств-ограничений.

1. Изменение коэффициентов целевой функции. В общем виде целевую функцию задачи ЛП можно записать следующим образом:

Изменение значений коэффициентов С1 и С2 приводит к изменению угла наклона прямой Z. Графический способ решения показывает, что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы изменения коэффициентов С1 и С2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности, представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения С1 /С2 (или, что то же самое, для С2 /С1); если значение отношения С1 /С2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным.

На рис. 3.6 видно, что функция Z(x) = 5X1 + 4X2 достигает максимального значения в угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции Z(x) = С1 X1 + C2 X2 точка С останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии Z будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка С. Этими прямыми являются 6Х1 + 4Х2 ≤ 24 (ограничение на сырье М1) и Х1 + 2Х2 ≤ 6 (ограничение на сырье М2). Алгебраически это можно записать следующим образом:

В первой системе неравенств условие означает, что прямая, соответствующая целевой функции, не может быть горизонтальной. Аналогичное условие в следующей системе неравенств означает, что эта же прямая не может быть вертикальной. Из рис. 3.7 видно, что интервал оптимальности данной задачи (он определяется двумя пересекающимися в точке С прямыми) не разрешает целевой функции быть ни горизонтальной, ни вертикальной. Таким образом, получено две системы неравенств, определяющие интервал оптимальности в данной задаче.

Рис. 3.7. Интервал оптимальности

Итак, если коэффициенты С1 и С2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение по-прежнему будет достигаться в точке С. Отметим, если прямая Z(x) = С1 X1 + C2 X2 совпадет с прямой Х1 + 2Х2 ≤ 6, то оптимальным решением будет любая точка отрезка CD. Аналогично, если прямая, соответствующая целевой функции, совпадет с прямой 6Х1 + 4Х2 = 24, тогда любая точка отрезка ВС будет оптимальным решением. Однако очевидно, что в обоих случаях точка С остается точкой оптимального решения.

Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, зафиксируем значение коэффициента С2 (пусть С2 = 4), тогда интервал оптимальности для коэффициента С1 получаем из неравенств путем подстановки туда значения С2 = 4. После выполнения элементарных арифметических операций получаем неравенства для коэффициента С1: 2 ≤ С1 ≤ 6.

Это означает, что при фиксированной цене на краску для внутренних работ цена на краску для наружных работ может меняться в интервале от 2 тыс. дол. за тонну до 6 тыс. дол. за тонну, при том, что оптимальное соотношение (решение) останется неизменным.

Аналогично, если зафиксировать значение коэффициента С1 (пусть С1 = 5), тогда из неравенства получаем интервал оптимальности для коэффициента С2: .

2. Изменение значений констант в правой части неравенств-ограничений. Стоимость ресурсов. Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. Рассмотрим на примере чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую Стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса.

В данной примере первые два неравенства представляют собой ограничения на использование сырья М1 и М2 соответственно. Определим стоимость единиц этих ресурсов.

В данной задаче оптимальное решение достигается в точке С, являющейся точкой пересечения прямых, соответствующих ограничениям на сырье М1 и М2. При изменении уровня доступности материала М1 (увеличение или уменьшение текущего уровня, равного 24 т) точка С оптимального решения «плывет» вдоль отрезка DG (рис. 3.8).

Любое изменение уровня доступности материала М1, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки D = (2,2) и G = (6,0) отрезка DG определяют Интервал осуществимости для ресурса М1. Количество сырья М1, соответствующего точке D = (2,2), равно 6Х1 + 4Х2 = 20 т. Аналогично, количество сырья, соответствующего точке G = (6,0), равно 36 т. Таким образом, интервал осуществимости для ресурса М1 составляет 20 ≤ М1 ≤ 36. Если определить М1 как М1 = 24 + D1, где D1 – отклонение количества материала М1 от текущего уровня в 24 т, тогда последние неравенства можно переписать как 20 ≤ 24 + D1 ≤ 36 или -4 ≤ D1 ≤ 12. Это означает, что текущий уровень ресурса М1 может быть уменьшен не более чем на 4 т и увеличен не более чем на 12 т. В этом случае структура оптимального решения не изменится.

Читать еще: Анализ отклонений используется для

Вычислим стоимость единицы материала М1. При изменении количества сырья М1 от 20 до 36 тонн, значения целевой функции Z будут соответствовать положению точки С на отрезке DG. Обозначив через y1 стоимость единицы ресурса М1, получим следующую формулу:

Если точка С совпадает с точкой D = (2,2), то Z = 5 ´ 2 + 4 ´ 2 = 18 (тыс. дол.), если же точка С совпадает с точкой G = (6,0), тогда Z = 5´6 + 4´0 = 30 (тыс. дол.). Отсюда следует, что

(тыс. дол. на тонну материала М1).

Этот результат показывает, что изменение количества ресурса М1 на одну тонну приводит к изменению в оптимальном решении значения целевой функции на 750 дол.

Рассмотрим ресурс М2. На рис. 3.9 видно, что интервал осуществимости для ресурса М2 определяется концевыми точками В и Н отрезка ВН, где В = (4,0) и Н = (8/3,2).

Точка Н находится на пересечении прямых ЕD и ВС. Находим, что количество сырья М2, соответствующего точке В, равно Х1 + 2Х2 = 4 + 2 ´ 0 = 4т, а в точке Н – 20/3 т. Значение целевой функции в точке В равно Z = 5 ´ 4 + 4 ´ 0 = 20 тыс. дол., а в точке Н: Z = 5 ´ ´ 8/3 + 4 ´ 2 = 64/3 тыс. дол. Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменяться от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как y2, равна (тысяч долларов на тонну материала М2).

Анализ чувствительности модели;

Чувствительность модели – соответствие изменения выходных переменных незначительным изменениям входных переменных модели. Чувствительность означает, что при небольшом изменении входных параметров происходит такое изменение показателей свойств системы, которое можно обнаружить в условиях погрешности вычислений.

При построении математической модели исходные данные принимаются с некоторой степенью неопределенности. При исследовании модели получаемые параметры модели могут быть определены с некоторой точностью, кроме того, параметры могут изменяться в зависимости от внешних условий и во времени – в этом случае нет однозначного соответствия между вектором параметров и вектором состояния.

В соответствии с ГОСТ: анализ неопределенностей предусматривает определение изменений и неточностей в результатах моделирования, которые являются следствием отклонения параметров и предположений, применяемых при построении модели. Областью, тесно связанной с анализом неопределенностей, является анализ чувствительности. Анализ чувствительности подразумевает определение изменений в реакции модели на отклонения отдельных параметров модели.

Анализ чувствительности позволяет сделать вывод об относительной важности входных переменных для конкретной модели, позволяет выделить ключевые переменные и идентифицировать те, которые можно без ущерба исключить из рассмотрения.

Анализ чувствительности особенно важен при решении оптимизационных задач.

К оптимизационным задачам следует относиться с определенной осторожностью: могут возникнуть некоторые особенности, которые сказываются на результате (получения оптимального решения). Это может быть сильная чувствительность к изменению условий. Меры преодоления этого состоят в проведении анализа решения на чувствительность, всяческое использование априорной информации с целью повышения уровня достоверности моделей.

Решение практической задачи нельзя считать законченным, если найдено оптимальное решение. Некоторые параметры задачи (финансы, запасы сырья, производственные мощности и др.) можно регулировать, что, в свою очередь, может изменить найденное оптимальное решение. Эта информация получается в результате выполнения анализа чувствительности. Анализ чувствительности позволяет оценить влияние этих параметров на оптимальное решение. Если обнаруживается, что оптимальное решение можно улучшить за счет небольших изменений заданных параметров, то целесообразно реализовать эти изменения. В результате анализа чувствительности входные переменные можно расположить в том порядке, который соответствует степени ухудшения точности модели при исключении из нее соответствующей переменной. При этом каждой переменной присваивается определенный рейтинг. Однако при наличии зависимостей между входными переменными нет уверенности, что такой одиночный рейтинг правильно отражает реальную ситуацию.

В анализа чувствительности выявляется чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходной модели.

Цель анализа чувствительности состоит в сравнительном анализе влияния различных факторов на ключевой показатель эффективности системы.

Анализ чувствительности является одним из наиболее распространенных методов анализа риска проектов (например, инвестиционных), эффективности вложения денежных средств. Оценка вклада отдельных исходных факторов на основные показатели экономического развития позволит выявить степень чувствительности экономики к изменению исходных параметров. В ходе анализа происходит проверка критериев эффективности в связи с изменениями исходной информации (инвестиционных и эксплуатационных издержек проекта, цен на продукцию или услуги).

ТЕМА: Анализ линейной модели на чувствительность

ТЕМА: Анализ линейной модели на чувствительность

Основные вопросы лекции:

1. Определение изменения значений констант правой части неравенств-ограничений.

2. Определение пределов изменения коэффициентов ЦФ.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Необходимым условием использования эффективного управления являет оптимальное распределение (расходование) ресурсов при решении поставленной задачи. Применение метода линейного программирования как раз и позволяет разрешить эту проблему.

Читать еще: Методы анализа целей

Подведение к основной мысли

Модель линейного программирования является как бы срезом реальной ситуации на определенный момент времени, при котором переменные и параметры модели (коэффициенты ЦФ и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Однако исходные условия обстановки на рынке товаров и услуг очень изменчивы. И если не произвести их анализ, то это может привести к тому, что полученное статическое оптимальное решение устареет еще до своей реализации. Поэтому опытный руководитель (менеджер), использующий при решении задач организационного управления методы линейного программирования, редко довольствуется численными значениями управляемых переменных, при которых достигается оптимум, если та или иная модель не применялась им многократно. Вот почему возникает необходимость производить анализ математических моделей.

Конкретная цель

Целью данной лекции является точный математический анализ линейных моделей.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Анализ моделей на чувствительность — это процесс, изучения влияния возможных изменений исходных условий (параметров модели) на полученное оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей:

• определение изменения значений констант правой части неравенств-ограничений;

• определение пределов изменения коэффициентов ЦФ.

Определение изменения значений констант правой части неравенств-ограничений

Во многих моделях линейного программирования (ЛП) ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. Поэтому после нахождения оптимального решения представляется вполне логичным выяснить, как отразиться на оптимальном решении изменение запасов ресурсов.

При анализе модели на чувствительность изменения значений правых частей ограничений решается две задачи:

— Первая задача – чувствительность решения к изменению запасов ресурсов;

— Вторая задача – определение ценности ресурсов (наиболее выгодного ресурса).

1.1 Чувствительность решения к изменению запасов ресурсов

Классифицируем ограничения линейной модели, как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные). Прямые, представляющие связывающие ограничения проходят через оптимальную точку, в противном случае соответствующие ограничения не являются связывающими.

Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относиться к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью или в большей степени. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т.е. имеющихся в некотором избытке). При данном анализе необходимо определить:

— предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить полученное оптимальное решение (значение ЦФ).

— предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, позволяющее сохранить полученное оптимальное решение (значение ЦФ).

Для проведения элементарного анализа модели на чувствительность с успехом воспользуемся графическим методом на примере № 1.

Графический метод

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ линейной модели на чувствительность придает модели определенную динамичность, позволяющую руководителю проанализировать влияние возможных исходных факторов среды на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики модели отражают аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам.

ЛИТЕРАТУРА

1. ХЭМДИ А. ТАХА, Введение в исследование операций. — Москва: ВИЛЬЯМС, 2001г.

2. БЕРЕЖНАЯ Е.В, БЕРЕЖНОЙ В.И., Математические методы моделирования экономических систем: учебное пособие. — Москва: Финансы и кредит, 2001.

3. Г.ВАГНЕР, Основы исследования операций: пособие, том 1, Москва: Мир, 1972.

ТЕМА: Анализ линейной модели на чувствительность

Основные вопросы лекции:

1. Определение изменения значений констант правой части неравенств-ограничений.

2. Определение пределов изменения коэффициентов ЦФ.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Подведение к основной мысли

Конкретная цель

Целью данной лекции является точный математический анализ линейных моделей.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей:

• определение изменения значений констант правой части неравенств-ограничений;

• определение пределов изменения коэффициентов ЦФ.

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

4. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

4.1. Теоретическое введение

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

· на сколько можно увеличить (ограничения типа ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

· на сколько можно уменьшить (ограничения типа ) запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?

Читать еще: Сметное планирование и анализ исполнения смет

2. Увеличение (ограничения типа ) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?

3. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

4.2. Методика графического анализа чувствительности оптимального решения.

4.2.1. Первая задача анализа на чувствительность (анализ на чувствительность к правой части ограничений)

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи о производстве радиоприемников. ОДР задачи (рис.3.1) – многоугольник ABCDE. В оптимальной точке D пересекаются прямые (1) и (2). Поэтому ограничения (1) и (2) являются связывающими, а соответствующие им ресурсы (суточный объем элементов электронных схем и производительность первой технологической линии) – дефицитными.

Рассмотрим экономический смысл этих понятий. Точка максимума ЦФ D соответствует суточному производству 60 шт радиоприемников первой модели и 5 шт радиоприемников второй модели. В производстве радиоприемников используются однотипные элементы электронных схем. Суточный запас на складе этих элементов – это правая часть связывающего ограничения (1) (950 шт/сутки). Согласно этому ограничению, на производство в точке D расходуется

[шт элементов/сутки](1).

Аналогично видим, что производительность первой технологической линии — это правая часть связывающего ограничения (2) (60 шт/сутки). Согласно этому ограничению в точке D данная линия производит 60 радиоприемников первой модели в сутки.

Таким образом, понятие «связывающие ограничения» (1) и (2) означает, что при производстве радиоприемников в точке D(60;5) запасы элементов электронных схем расходуются полностью, а так же производительность первой технологической линии используется в полном объеме. По этой причине невозможно дальнейшее наращивание производства. В этом заключается экономический смысл понятия дефицитности ресурсов, т.е. если предприятие сможет увеличить суточные запасы элементов электронных схем или производительность первой технологической линии, то это позволит увеличить выпуск радиоприемников. В связи с этим возникает вопрос: до какого уровня целесообразно увеличить данные ресурсы, и на сколько при этом увеличится оптимальное производство радиоприемников?

Чтобы графически определить максимальное увеличение запаса дефицитного ресурса, вызывающее улучшение оптимального решения,

необходимо передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения ЦФ до тех пор, пока это ограничение не станет избыточным.

При прохождении прямой (1) через точку К (рис.4.1) многоугольник ABKE становится ОДР, а ограничение (1) – избыточным. Действительно, если удалить прямую (1), проходящую через точку К, то ОДР ABKE не изменится. Точка К становится оптимальной, в этой точке ограничения (2) и (3) становятся связывающими.

Рис.4.1. Анализ увеличения суточного запаса элементов электронных схем

Чтобы численно определить максимальную величину запаса дефицитного ресурса, вызывающую улучшение оптимального решения,

1) определить координаты точки , в которой соответствующее ограничение становится избыточным;

2) подставить координаты в левую часть соответствующего ограничения.

Координаты точки К(60;80) находятся путем решения системы уравнений прямых (2) и (3). Т.е. в этой точке предприятие будет производить 60 шт радиоприемников первой модели и 80 шт радиоприемников второй модели. Подставим и в левую часть ограничения (1) и получим максимально допустимый запас элементов электронных схем

[шт эл/сутки].

Дальнейшее увеличение запаса элементов электронных схем нецелесообразно, потому что это не изменит ОДР и не приведет к другому оптимальному решению (см. рис.4.1). Доход от продажи радиоприемников в объеме, соответствующем точке К, можно рассчитать, подставив ее координаты в выражение ЦФ

[$/сутки].

Рассмотрим вопрос о целесообразности увеличения производительности первой технологической линии. Согласно правилу №1, соответствующее ограничение (2) становится избыточным в точке J, в которой пересекаются прямая (1) и ось переменной (рис.4.2). Многоугольник ABCJ становится ОДР, а точка J(63,33;0) (или (63;0)-целочисленное решение) – оптимальным решением.

Рис.4.2. Анализ увеличения производительности первой технологической линии

В точке J выгодно производить только радиоприемники первой модели (63 шт в сутки). Доход от продажи при этом составит

[$/сутки]

Чтобы обеспечить такой режим работы, согласно правилу №2, производительность первой технологической линии надо увеличить до величины

[шт/сутки].

Ограничение (3) является несвязывающим, т.к. не проходит через оптимальную точку D (см. рис.4.3). Соответствующий ему ресурс (производительность второй технологической линии) является недефицитным. С экономической точки зрения это означает, что в данный момент уровень производительности второй технологической линии непосредственно не определяет объемы производства. Поэтому некоторое его колебание может никак не повлиять на оптимальный режим производства в точке D.

Например, увеличение (уменьшение) суточного объема второй технологической линии будет соответствовать перемещению прямой ограничения (3) вверх (вниз). Перемещение прямой (3) вверх никак не может изменить точку D максимума ЦФ. Перемещение же прямой (3) вниз не влияет на существующее оптимальное решение только до пересечения с точкой D (см. ниже правило №3). Из рис.4.3 видно, что дальнейшее перемещение (3) приведет к тому, что точка D будет за пределами новой ОДР, выделенной более темным цветом. Кроме того, любое оптимальное решение для этой новой ОДР будет хуже точки D.

Рис.4.3. Анализ уменьшения производительности второй технологической линии

Чтобы определить максимальное уменьшение запаса недефицитного ресурса, не меняющее оптимальное решение,

необходимо передвигать соответствующую прямую до пересечения с оптимальной точкой.

Чтобы численно определить минимальную величину запаса недефицитного ресурса, не меняющую оптимальное решение,

необходимо подставить координаты оптимальной точки в левую часть соответствующего ограничения.

Чтобы выяснить, до каких пределов уменьшение производительности второй технологической линии не повлияет на производство в точке D, используем правило №4 Подставляем в левую часть ограничения (3) координаты точки D, получаем

[шт/сутки].

Делаем вывод: предельный уровень, до которого может уменьшиться объем второй технологической линии, и при котором не изменится оптимальность полученного ранее решения, равен 5 шт радиоприемников в сутки.

Результаты решения первой задачи анализа оптимального решения на чувствительность представлены в табл.4.1.