Robo6log.ru

Финансовый обозреватель
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Этапы метода анализа иерархий

Этапы метода анализа иерархий

1. Очертить проблему и определить, что мы хотим

2. Построить иерархию ( цель, критерии, альтернативы)

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня

4. Проверить индекс согласованности каждой матрицы

5. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных векторов

Основные определения и понятия

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях.

Точные методы построения систем в виде иерархий постепенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных систем. Концептуально, наиболее простая иерархия — линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируемый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации).

Естественные системы, составленные иерархически, т. е. посредством модульного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем системы, собранные в целом.

Иерархии устойчивы и гибки; они устойчивы в том смысле, что малые изменения вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик.

Преимуществом метода анализа иерархий над большинством существующих методов оценивания альтернатив является чёткое выражение суждений экспертов и ЛПР, а также ясное представление структуры проблемы: составных элементов проблемы и взаимосвязей между ними.

Иерархия строится следующим образом: сначала определяется цель принятия решения (фокус проблемы). Это высший уровень иерархии. Например, выбор наилучшего места работы, ВУЗа для учёбы и т.д. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (оплата труда, время, необходимое для проезда на работу, и т.д.). Каждый критерий может делиться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим. Декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мысли ЛПР, его концепции решения проблемы, интуиции и опыта.

Рассмотрим упрощённую модель принятия решения о выборе места работы. Есть три места работы: А1, А2 и А3

При выборе работы учитываются четыре критерия: зарплата, удалённость от дома, перспективы карьерного роста и риск потери работы.

Полученная иерархия соответствует 3-уровневой полной иерархии с фокусом принятие решения. Иерархия называется полной, если между элементами соседних уровней имеются все возможные связи.

Рассмотрим другую проблему – подбор кандидата на вакантное место: трёх кандидатов оценивают два эксперта, каждый по своим двум критериям, а затем докладывают свои выводы руководству для принятия окончательного решения. В этом случае иерархия будет выглядеть следующим образом.

Полученная иерархия соответствует 4-х уровневой неполной иерархии с фокусом ПР. Но её можно свести к набору из двух полных трёхуровневых иерархий и одной двухуровневой: для этого нужно разрезать связи между фокусом и элементами С1 и С2.

Вывод: анализ неполных иерархий можно свести к анализу набора соответствующих полных иерархий.

Наиболее полные иерархии возникают при анализе проблем стратегического планирования. Стратегическое планирование – процесс формирования вероятностного будущего.

Уровни, возникающие при этом планировании следующие:

1. Устанавливается фокус проблемы

2. Устанавливаются экономические, политические и социальные причины, которые могут влиять на исход (иногда этот уровень опускают, переходя сразу к третьему)

3. Люди и организации (акторы), которые решают, какие действия, влияющие на экономическую, политическую и социальную ситуацию, предпринимать. К этому же уровню относятся и те, на кого влияют принимаемые решения.

4. Устанавливает цели каждого актора.

5. Средства достижения целей, которыми пользуются акторы (необязательный уровень)

6. Исходы, за которые борется каждый актор, как за результат реализации своих целей.

7. Обобщённый сценарий, который представляет собой результат реализации всех сценариев предыдущего уровня с учётом их веса. Обобщённый сценарий называется также логическим исходом.

Очень важным с точки зрения анализа иерархий является измерение весов элементов иерархии на одном уровне, чтобы можно было выделить , наиболее важные критерии , акторов и т.д. и в конце концов определить альтернативу, имеющую, в соответствии с проведёнными сравнениями наибольший вес. При этом необходимо также учитывать согласованность таких измерений.

Измерять веса можно двумя способами – сравнивая с эталоном и сравнивая попарно, чтобы распределить по весу (привести пример с взвешиванием предметов). Для ранжирования лучше второй способ.

В процессе любых измерений возможны погрешности, что, в конечном счёте, может привести к несогласованности выводов. Под согласованностью понимают следующее: если сравниваются по весу три предмета и предмет 1 оказался в четыре раза тяжелее второго, а третий в два раза тяжелее второго, то при сравнении первого и третьего важно получить не просто тяжелее, а тяжелее в восемь раз. На примере качественного сравнения показателей: что и во сколько раз лучше, может оказаться очень важным выбор шкалы и знание оценивающим предмета оценки. Как правило, чем лучше человек знаком с ситуацией, тем последовательнее в своих оценках. Обратное утверждение не всегда верно.

Следовательно, для получения хороших результатов требуется использовать подходящую численную шкалу сравнений и определять степень несогласованности суждений.

Шкалирование. Как уже упоминалось в начале курса, в связи с особенностями человеческого мышления, лучше использовать для сравнения не более 7±2 объекта. Если таких объектов больше, то необходимо попробовать сгруппировать их. Затем сравнивать группы, а затем объекты внутри группы, если это необходимо.

Наиболее распространённой на сегодняшний день в методе анализа иерархий является следующая шкала:

· Если объект А и В одинаково важны, то их отношение записывается в виде 1

· Если А незначительно важнее В, то в качестве отношения А/В используют 3 (слабое предпочтение)

· Если А значительно важнее В – 5 (предпочтительнее)

· Если А явно важнее В (сильное предпочтение) – 7

· Если А по своей значимости абсолютно предпочтительнее В -9.

Такая шкала появилась в результате большой работы многих специалистов из различных областей знаний и была проверена на многих практических задачах, где давала очень хорошие результаты.

Читать еще:  Анализ хозяйственной деятельности сельскохозяйственного предприятия

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромисса между оценками. Можно попросить провести сравнение каких-либо объектов по этой шкале и попытаться проверить согласованность оценок.

Понятно, что эти оценки различны для разных людей.

8. Математический аппарат метода анализа иерархий.

Одним из способов практического сравнения объектов, действий или обстоятельств для их количественной оценки является построение матрицы (таблицы) попарных сравнений. Пусть даны объекты А, В, С и т.д. Рассмотрим матрицу попарных сравнений этих объектов

В этой таблице а12отношение важности объекта А по сравнению с В, а13— отношение важности объекта А по сравнению с С и т.д.

Вспомним несколько определений из курса математики.

Матрица А называется положительной, если:

Матрица А называется обратносимметричной, если:

Матрица А является согласованной, если:

Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого :

Собственным значением матрицы A называется такое число , для которого существует собственный вектор , то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Теорема. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда ,где -максимальное собственное значение матрицы, а n-размерность матрицы.

Проанализируем свойства идеальной матрицы парных сравнений (то есть все соотношения оценены идеально).

1. Для любого i справедливо аii=1(диагональный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и i-го столбца), так как это отношение элемента по важности к самому себе.

2. Для любых i и k справедливо равенство аki* аik=1. Действительно, если аki – отношение веса k-го элемента (wk) к весу i-го элемента (wi), а аik –обратное отношение, то получаем аki* аik= (wk / wi)*( wi/ wk)=1. Это соответствует определению обратносимметричной матрицы. То есть для нашей матрицы попарных сравнений, если объекты оценены верно, то а21=1/ а12 и т.д.

3. Для любых i, k и l справедливо равенство аik* аkl=ail. Это как раз отражает, то, что мы говорили ранее о согласованности измерений.

4. Столбец с весами элементов является собственным вектором матрицы попарных сравнений, с собственным значением l равным количеству сравниваемых элементов (n). Если обозначить матрицу А, столбец с весами w, то будет справедливо А*w =n*w.

Если матрица попарных сравнений строится не на точных измерениях, а на субъективных суждениях, то она, естественно, может отклоняться от идеальной. В этом случае у матрицы будет несколько собственных значений. Вспомним несколько полезных для нас свойств матриц: А*w =l*w, где l=1, l2,…,ln>. В идеальной матрице все собственные значения равны 0 за исключением одного, равного n. Следующее важное свойство, если элементы положительной обратносимметричной матрицы А незначительно изменить, то собственные значения также изменятся незначительно.

Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы А состоит из единиц и А – согласованная матрица, то при малых изменениях в значениях аik наибольшее собственное значение lmax остаётся близким к n (при этом всегда lmax³n), а остальные собственные значения – близкими к нулю.

Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если А – матрица значений парных сравнений, то для нахождения вектора весов (или приоритетов) нужно найти вектор w (неравный нулю), который удовлетворяет матричному уравнению А*w =lmax*w

Для определения собственного значения lmax необходимо решить характеристическое (алгебраическое n-го порядка) уравнение

½А — lmax *Е½=0, где Е – единичная матрица и с учётом соотношения lmax³n. Далее с найденным значением lmax следует определить решение w матричного уравнения
А*w =lmax*w, то есть собственный вектор матрицы А.

Так как желательно иметь нормализованное решение, то слегка изменим w, заменив вектор w на вектор w=w/å wi. Это преобразование обеспечивает единственность вектора и для компонент преобразованного вектора åwi=1. Условие нормировки весов удобно использовать для контроля правильности расчётов весов wi.

Для проведения парных сравнений n объектов или действий требуется суждений о парных сравнениях.
Можно оценить отклонение от согласованности матрицы сравнений разностью , разделенной на (n-1). Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины с её значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Выражение называется индексом согласованности (ИС).

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ).

В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие результаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы и средние СИ, определенные так, как описано выше:

Этапы метода анализа иерархий

1. Очертить проблему и определить,что мы хотим

2. Построить иерархию ( цель, критерии, альтернативы)

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня

4. Проверить индекс согласованности каждой матрицы

5. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных векторов

Иерархия строится следующим образом: сначала определяется цель принятия решения (фокус проблемы). Это высший уровень иерархии. Например, выбор наилучшего места работы, ВУЗа для учёбы и т.д. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (оплата труда, время, необходимое для проезда на работу, и т.д.). Каждый критерий может делиться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим. Декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мысли ЛПР, его концепции решения проблемы, интуиции и опыта.

Рассмотрим упрощённую модель принятия решения о выборе места работы. Есть три места работы: А1, А2 и А3.

При выборе работы учитываются четыре критерия: зарплата (К1), удалённость от дома (К2), перспективы карьерного роста (К3) и риск потери работы (К4).

Полученная иерархия соответствует 3-уровневой полной иерархии с фокусом принятие решения. Иерархия называется полной, если между элементами соседних уровней имеются все возможные связи.

Рассмотрим другую проблему – подбор кандидата на вакантное место: трёх кандидатов оценивают два эксперта, каждый по своим двум критериям, а затем докладывают свои выводы руководству для принятия окончательного решения. В этом случае иерархия будет выглядеть следующим образом.

Полученная иерархия соответствует 4-х уровневой неполной иерархии с фокусом ПР. Но её можно свести к набору из двух полных трёхуровневых иерархий и одной двухуровневой: для этого нужно разрезать связи между фокусом и элементами С1 и С2.

Читать еще:  Анализ бюджетного федерализма в россии

Первая иерархия даст в результате мнение первого эксперта о кандидатах.

Вторая иерархия даст в результате мнение второго эксперта о кандидатах.

Последняя иерархия даст возможность руководителю принять окончательное решение, основываясь на мнениях экспертов и степени доверия каждому из них.

Вывод: анализ неполных иерархий можно свести к анализу набора соответствующих полных иерархий.

Одним из способов практического сравнения объектов, действий или обстоятельств для их количественной оценки является построение матрицы парных сравнений.

В этой таблице а12отношение важности объекта А по сравнению с В, а13— отношение важности объекта А по сравнению с С и т.д.

Матрица А называется обратносимметричной, если:

Матрица А является согласованной, если:

Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого :

Собственным значением матрицы A называется такое число , для которого существует собственный вектор , то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Теорема. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда ,где -максимальное собственное значение матрицы, а n-размерность матрицы (в нашем случае количество сравниваемых элементов).

Для получения хороших результатов требуется использовать подходящую численную шкалу сравнений и определять степень несогласованности суждений.

Наиболее распространённой на сегодняшний день в методе анализа иерархий является следующая шкала:

· Если объект А и В одинаково важны, то их отношение записывается в виде 1:А/В=1 и В/А=1[1]

· Если А незначительно важнее В, то в качестве отношения А/В используют 3 (слабое предпочтение): А/В=3, В/А=1/3[2]

· Если А значительно важнее В – 5 (предпочтительнее): А/В=5, В/А=1/5

· Если А явно важнее В (сильное предпочтение) – 7: А/В=7, В/А=1/7

· Если А по своей значимости абсолютно предпочтительнее В – 9: А/В=9, В/А=1/9

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромисса между оценками. Понятно, что каждый ЛПР имеет право на свои оценки даже в случае идентичного выбора (варианты решения и критерии совпадают, но отношение к ним у разных людей разное).

Проанализируем свойства идеальной матрицы парных сравнений (то есть все соотношения оценены идеально).

1. Для любого i справедливо аii=1(диагональный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и i-го столбца), так как это отношение элемента по важности к самому себе.

2. Для любых i и k справедливо равенство аki* аik=1.

3. Для любых i, k и l справедливо равенство аik* аkl=ail. Это отражает согласованностьопределения соотношения элементов (это означает, что, например, при сравнении элементов с третьим в третьей строке не должно получиться, что второй элемент лучше пятого, если из первой строки сравнения с первым элементом следует, что пятый лучше второго).

4. Столбец с весами элементов является собственным вектором матрицы попарных сравнений, с собственным значением l равным количеству сравниваемых элементов (n). Если обозначить матрицу А, столбец с весами w, то будет справедливо А*w =n*w.

Если матрица попарных сравнений строится не на точных измерениях, а на субъективных суждениях, то она, естественно, может отклоняться от идеальной. В этом случае у матрицы будет несколько собственных значений.

Для определения собственного значения lmax необходимо решить характеристическое (алгебраическое n-го порядка) уравнение

½А — lmax *Е½=0, где Е – единичная матрица с учётом соотношения lmax³n.

Это можно сделать в EXCEL, используя пункт Подбор параметра, расположенный во вкладке Данные в группе Работа с данными, кнопка «Анализ что, если».

Можно оценить отклонение от согласованности матрицы сравнений разностью , разделенной на (n-1), так какдля проведения парных сравнений n объектов или действий требуется суждений о парных сравнениях.Выражение называется индексом согласованности (ИС).

Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины с её значением из случайных суждений при сравнении объектов или процессов и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ).

В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Ниже представлены порядок матрицы и средние СИ,определенные так, как описано выше:

Метод анализа иерархий

Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня — индексы однородности и отношения однородности.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Таблица 2. Шкала отношений

Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λmax≥n.

Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λmax=n.

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λmax от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:


M(ио) — среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).

Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

Пример . Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор Ws делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λmax=e T AW, рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.

Пример . Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.


При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.

Рисунок 1 — Иерархическая схема общего благополучия индивидуума
WОБ=(0.701; 0.193; 0.106), λmax=3.26; ИС=0.07; OC=0.12
WД=(0.604; 0.213; 0.064; 0.119), λmax=4.35; ИС=0.12; OC=0.13
WУ=(0.604; 0.213; 0.064; 0.119), λmax=4.35; ИС=0.12; OC=0.13
WA=(0.127; 0.281; 0.120; 0.463), λmax=5.42; ИС=0.47; OC=0.52
WП=(0.721; 0.210; 0.069), λmax=4; ИС=0.33; OC=0.57
WЭ=(0.333; 0.333; 0.333), λmax=3; ИС=0.0; OC=0.0
WН=(0.713; 0.061; 0.176), λmax=3.11; ИС=0.06; OC=0.10
WЛ=(0.701; 0.097; 0.202; 0.463), λmax=3.14; ИС=0.07; OC=0.12
Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.

Читать еще:  Анализ рыночных тенденций

Лекция 6. Метод анализа иерархий (метод )

Лекция 6. Метод анализа иерархий (метод )

Метод анализа иерархий (МАИ) состоит в декомпозиции проблемы на более простые составные части и дальнейшей обработке последовательности суждений эксперта по парным сравнениям. Метод анализа иерархий служит для обоснования принятия решений в условиях определенности и многокритериальности.

Метод базируется на следующих принципах.

Принцип декомпозиции. Данный принцип пре­дусматривает структурирование проблемы в виде иерархии, что является первым этапом применения МАИ. Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня связан со всеми элементами последующего уровня. Простейшая полная иерархия проблемы многокритериального выбора включает в себя три уровня (рис. 1): цель, критерии, альтернативы.

Рис.1. Иерархия проблемы

Принцип сравнительных суждений. Чтобы установить приоритеты критериев и получить оценки для альтернативных решений, в МАИ используется метод парных сравнений — строятся матрицы парных сравнений , где , -– «вес» i-того элемента иерархии.

Очевидно, что (то есть диагональные элементы матрицы равны 1, матрица является обратносимметричной).

По каждой матрице определяется вектор локальных приоритетов и вычисляется индекс согласованности мнений эксперта.

Принцип синтеза приоритетов. Итак, будем считать, что построены матрицы парных сравнений: одна для второго уровня иерархии (для критериев), а на каждом последующем уровне – столько матриц парных сравнений, сколько элементов содержит предшествующий уровень иерархии. Вычислены векторы локальных приоритетов по каждой матрице.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня иерархии сверху вниз. Локальные приоритеты альтернатив умножаются на приоритеты со­ответствующих критериев предшествующего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями. Таким образом, итоговой оценкой альтернативы в методе парных сравнений является вес альтернативы, вычисляемый как свертка весовых коэффициентов критериев (локальных критериев) всех уровней иерархии.

Алгоритм МАИ включает в себя следующие этапы:

1. формирование иерархии целей;

2. определение приоритетов;

3. расчет локальных векторов приоритетов;

4. проверка экспертных оценок на непротиворечивость (вычисление индекса согласованности);

5. расчет приоритетов целей и мероприятий для иерархии в целом на основе синтеза локальных приоритетов.

Рассмотрим эти этапы и проиллюстрируем их на примере.

Предприятию необходимо заключить договор о поставке товара либо с посредником 1, либо с посредником 2, либо с предприятием-изготовителем, либо с посредником 3. Выбор необходимо осуществить, оценив следующие факторы:

    цена товара (руб.); объем партий товара (шт.); место расположения поставщика (км); возможность сбоя поставок (кол-во); сроки поставок (мес.); транспортные расходы (руб.).

В таблице 1 приведены исходные данные для эксперта, на основе анализа которых он строит матрицы парных сравнений.

Таблица 1. Исходные данные

Объем партий товара

Место расположения поставщика

в течение 2 месяцев

Этап 1. Формирование иерархии целей. Производится декомпозиция проблемы принятия решений с выделением главных целей, подцелей и различных целевых функций (альтернатив). Элементы одинаковых уровней должны быть сопоставимы друг с другом с точки зрения возможности установления приоритетов.

Воспользовавшись методом Саати для решения данной проблемы, следует, в первую очередь, четко определить потенциальные выгоды, которые необходимо учитывать. Допустим, что в результате получены следующие иерархии выгод (рис. 2).

Рис. 2. Иерархия проблемы выбора поставщика

Критерии всех уровней иерархии в методе анализа иерархий должны иметь общую направленность (либо положительную, либо отрицательную), то есть либо оцениваются выгоды (доход, прибыль), либо издержки.

Этап 2. Определение приоритетов. Чтобы установить приоритеты критериев, получить оценки для альтернативных решений в МАИ используется метод парных сравнений: строятся матрицы парных сравнений . Элемент aij матрица парных сравнений является результатом измерения по фундаментальной шкале степени предпочтительности альтернативы Ai по отношению к альтернативе Aj.

Следует помнить, что между собой сравниваются элементы принадлежащие к одному уровню иерархии, сравнение происходит по степени их соответствия конкретному элементу вышестоящего уровня. При построении матриц парных сравнений пользуются фундаментальной шкалой предпочтений (шкалой относительной важности) (табл. 2).

Количество ответов экспертов для построения матрицы парных сравнений для n альтернатив равно n*(n-1)/2 или n2/2 –n/2. При заполнении матрицы парных сравнений достаточно определить элементы, расположенные над главной диагональю матрицы. Элементы под диагональю согласно свойству обратной симметричности матрицы вычисляются по формуле .

Таблица 2. Фундаментальная шкала предпочтений (шкала относительной важности)

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector